在聲學(xué)中,聲音的高低(如西洋音樂(lè)中的唱名Do、Re、Mi、Fa……)指的是與物體振動(dòng)的頻率。當(dāng)我們?nèi)∫缓?jiǎn)單物體用來(lái)定音高時(shí)(如竹管、絲弦),則它的頻率與其長(zhǎng)度是成反比的關(guān)系。如果物體的材質(zhì)固定,長(zhǎng)度愈長(zhǎng),聲音愈低。 除此之外,當(dāng)長(zhǎng)度減為一半時(shí),頻率將變?yōu)樵鹊膬杀叮婚L(zhǎng)度增成為原先的兩倍時(shí),頻率成為原先的一半。我們將這種互為二倍數(shù)的特殊比例,定義為彼此互為“八度音”。所以“三分損”(長(zhǎng)度變?yōu)樵鹊?/3)與“三分益”(長(zhǎng)度變?yōu)樵鹊?/3),彼此之間正是一個(gè)“八度音”的關(guān)系(4/3是2/3的兩倍)。由此,我們便可以從九九八十一的長(zhǎng)度出發(fā),試算前述藉由“三分損益”求得的長(zhǎng)度,所得到的十二律∶
黃鐘∶81;
林鐘(由黃鐘三分損而來(lái))∶81*2/3=54;
太簇(由林鐘三分益而來(lái))∶54*4/3=72;
南呂(由太簇三分損而來(lái))∶72*2/3=48;
姑洗(由南呂三分益而來(lái))∶48*4/3=64;
應(yīng)鐘(由姑冼三分損而來(lái))∶64*2/3=42.6667;
蕤賓(由應(yīng)鐘三分益而來(lái))∶42.6667*4/3=56.8889;
大呂(由蕤賓三分益而來(lái))∶56.8889*4/3=75.8519;
夷則(由大呂三分損而來(lái))∶75.8519*2/3=50.5679;
夾鐘(由夷則三分益而來(lái))∶50.5679*4/3=67.4239;
無(wú)射(由夾鐘三分損而來(lái))∶67.4239*2/3=44.9492;
中呂(由無(wú)射三分益而來(lái))∶44.9492*4/3=59.9323;
清黃鐘(黃鐘的高八度音,由仲呂三分損而來(lái))∶59.9323*2/3=39.9549。
我們注意到最后一個(gè)“清黃鐘”的長(zhǎng)度39.9546,與直接取“黃鐘”長(zhǎng)度的一半40.5仍有一段小小的差距,這就是“黃鐘不能還原”的問(wèn)題。因?yàn)樵谶B乘十二次2/3或4/3后,最后的值不可能達(dá)到原始的1/2。
另外,若在定律時(shí)不斷地使用三分損益的操作,最后一定會(huì)出現(xiàn)除不盡的小數(shù),使得在實(shí)際制作時(shí)容易產(chǎn)生誤差。然而在現(xiàn)實(shí)上,準(zhǔn)確度(Percision)與精確度(Accuracy)絕對(duì)有其極限,所以經(jīng)過(guò)十二次的三分損益之后,已經(jīng)可以構(gòu)成一個(gè)(不甚完美)的音階循環(huán)。這也是為何中西音樂(lè)理論中,都不約而同地發(fā)展出以“12音階”為主流的原因。之后才會(huì)出現(xiàn)如純律、十二平均律等不同的改進(jìn)或修正方法。 從上面所計(jì)算出來(lái)的結(jié)果,我們對(duì)照《史記.律書(shū)》中的文字,便可發(fā)現(xiàn)當(dāng)中的抄錄錯(cuò)誤。宋代沈括的《夢(mèng)溪筆談》,便記載了《律書(shū)》當(dāng)中出現(xiàn)“七分”之類(lèi)的文字,當(dāng)為“十分”的誤寫(xiě)。因此原文中的黃鐘“八寸七分一”為“八寸十分一81分”才合理。以下列出古音十二律與史記的文字記載比較,并附上與西方“參考音名”與“十二平均律的誤差”計(jì)算。 古音十二律
史記文字
三分損益
史記數(shù)字
西方音名
十二平均律
三分損益與十二平均律偏差(%)
黃鐘八寸七分一 81 81(更正后)C 81 -
林鐘五寸十分四 54 54 G 54.0610 0.11
太簇七寸十分二 72 72 D 72.1628 0.23
南呂四寸十分八 48 48 A 48.1629 0.34
姑冼六寸十分四 64 64 E 64.2898 0.45
應(yīng)鐘四寸二分三分二 42.6667 42.6667 B 42.9083 0.56
蕤賓 五寸六分三分二 56.8889 56.6667 F#57.2757 0.68
大呂七寸五分三分二 75.8519 75.6667 C# 6.4538 0.79
夷則五寸三分二 50.5679 50.6667 G#51.0268 0.90
夾鐘六寸七分三分一 67.4239 67.3333 D#68.1126 1.01
無(wú)射四寸四分三分二 44.9492 44.6667 A#45.4597 1.12
仲呂 五寸九分三分二 59.9323 59.6667 F 60.6814 1.23