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互質(zhì)（數(shù)學(xué)領(lǐng)域術(shù)語(yǔ)）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22

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互質(zhì)

數(shù)學(xué)領(lǐng)域術(shù)語(yǔ)

互質(zhì)是公約數(shù)只有1的兩個(gè)整數(shù)，叫做互質(zhì)整數(shù)。公約數(shù)只有1的兩個(gè)自然數(shù)，叫做互質(zhì)自然數(shù)，后者是前者的特殊情形。

基本信息

中文名	互質(zhì)
外文名	relatively prime
拼音	hù zhì
定義	公約數(shù) 只有1的兩個(gè)整數(shù)，叫做互質(zhì)整數(shù)
計(jì)算公式	（c,m）=1
應(yīng)用領(lǐng)域	計(jì)算機(jī)
別名	互素
應(yīng)用學(xué)科	數(shù)學(xué)

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定義

互質(zhì)

互質(zhì),若N個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)是1，則稱(chēng)這N個(gè)整數(shù)互質(zhì)。

例如8,10的最大公因數(shù)是2，不是1，因此不是整數(shù)互質(zhì)。

7,11,13的最大公因數(shù)是1，因此這是整數(shù)互質(zhì)。

5和5不互質(zhì)，因?yàn)?和5的公因數(shù)有1、5。

1和任何數(shù)都成倍數(shù)關(guān)系，但和任何數(shù)都互質(zhì)。因?yàn)?的因數(shù)只有1，而互質(zhì)數(shù)的原則是：只要兩數(shù)的公因數(shù)只有1時(shí)，就說(shuō)兩數(shù)是互質(zhì)數(shù)。因?yàn)?只有一個(gè)因數(shù)所以1既不是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），也不是合數(shù)，無(wú)法再找到1和其他數(shù)的別的公因數(shù)了。1和-1與所有整數(shù)互素，而且它們是唯一與0互素的整數(shù)。

互質(zhì)數(shù)的寫(xiě)法：如c與m互質(zhì)，則寫(xiě)作（c,m）=1。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)互質(zhì)數(shù)是這樣定義的：“公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)?！?/span>

這里所說(shuō)的“兩個(gè)數(shù)”是指自然數(shù)。

“公約數(shù)只有 1”，不能誤說(shuō)成“沒(méi)有公約數(shù)?！?/span>

這里有一個(gè)誤區(qū)，認(rèn)為0不與任何數(shù)互質(zhì)。嚴(yán)格地按照互質(zhì)的定義來(lái)看0與1，-1均互質(zhì)，通過(guò)任意有理數(shù)的表示方式a/b（a,b互質(zhì)且b為正整數(shù)），同樣可以得出0與1，-1均必須互質(zhì)，否則0不是有理數(shù)。

判別方法

（1）兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。

例如，2與7、13與19。

（2）一個(gè)質(zhì)數(shù)，另一個(gè)不為它的倍數(shù)，這兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)。

例如，3與10、5與 26。

（3）1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，它和任何一個(gè)自然數(shù)（1本身除外）在一起都是互質(zhì)數(shù)。如1和9908。

（4）相鄰的兩個(gè)自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如 15與 16。

（5）相鄰的兩個(gè)奇數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如 49與 51。

（6）較大數(shù)是質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如97與88。

（7）兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)（二數(shù)差又較大），較小數(shù)所有的質(zhì)因數(shù)，都不是較大數(shù)的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

如357與715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)。

（8）兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)（二數(shù)差較?。?，這兩個(gè)數(shù)的差的所有質(zhì)因數(shù)都不是較小數(shù)的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如85和78。85－78=7，7不是78的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

（9）兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)，較大數(shù)除以較小數(shù)的余數(shù)（不為“0”且大于“ 1”）的所有質(zhì)因數(shù)，都不是較小數(shù)的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如 462與 221

462÷221=2……20，

20=2×2×5。

2、5都不是221的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

（10）減除法。如255與182。

255－182=73，觀察知 73182。

182－（73×2）=36，顯然 3673。

73－（36×2）=1，

（255，182）=1。

所以這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

三個(gè)或三個(gè)以上自然數(shù)互質(zhì)有兩種不同的情況：一種是這些成互質(zhì)數(shù)的自然數(shù)是兩兩互質(zhì)的。如2、3、5。另一種不是兩兩互質(zhì)的。如6、8、9。

編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)

C語(yǔ)言

intgcd(inta,intb){if(b==0)returna;elsereturngcd(b,a%b);}//遞歸法求最大公約數(shù)，當(dāng)最大公約數(shù)是1的時(shí)候，兩個(gè)數(shù)互質(zhì)

if(gcd(x,y)==1)那么x,y互質(zhì)

Java語(yǔ)言

publicintgac(inta,intb){if(a

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