定理定義

任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成一個素數(shù)和一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和

發(fā)展簡史

1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整數(shù)都可寫成三個質(zhì)數(shù)之和。因現(xiàn)今數(shù)學界已經(jīng)不使用“1也是素數(shù)”這個約定，原初猜想的現(xiàn)代陳述為：任一大于5的整數(shù)都可寫成三個質(zhì)數(shù)之和。歐拉在回信中也提出另一等價版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)之和。常見的猜想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個素因子個數(shù)不超過a個的數(shù)與另一個素因子不超過b個的數(shù)之和"記作"a+b"。1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成二個素數(shù)的和，或是一個素數(shù)和一個半素數(shù)的和"。

陳景潤

陳景潤（1933年5月22日～1996年3月19日）中國著名數(shù)學家，福建福州人，廈門大學數(shù)學系畢業(yè)。

陳景潤像

1999年，中國發(fā)表紀念陳景潤的郵票。紫金山天文臺將一顆行星命名為“陳景潤星”，以此紀念。另有相關(guān)影視作品以陳景潤為名。 1973年，《中國科學》雜志全文發(fā)表了陳景潤的證明，他的“1+2”被國內(nèi)外公認為哥德巴赫猜想研究的重要里程碑，迄今無人能及。有人說，他挑戰(zhàn)了解析數(shù)論領域250年智力極限的總和。五年后，全國科學大會的召開，迎來了“科學的春天”，一個尊重知識的新時代到來了。陳景潤成為會上最大的亮點，也成為后來青年的偶像，激勵了整整一代人。

哥德巴赫猜想

常見的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個素數(shù)之和，亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。

從關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想，可推出：

任一大于7的奇數(shù)都可寫成三個質(zhì)數(shù)之和

的猜想。后者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”。

若關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想是對的，則關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想也會是對的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解決，但1937年時前蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉多夫已經(jīng)證明充分大的奇質(zhì)數(shù)都能寫成三個質(zhì)數(shù)的和，也稱為“哥德巴赫-維諾格拉朵夫定理”或“三素數(shù)定理”，數(shù)學家認為弱哥德巴赫猜想已基本解決。

研究偶數(shù)的哥德巴赫猜想的四個途徑。這四個途徑分別是：殆素數(shù)，例外集合，小變量的三素數(shù)定理，以及幾乎哥德巴赫問題。

途徑一：殆素數(shù)

殆素數(shù)就是素因子個數(shù)不多的正整數(shù)?，F(xiàn)設N是偶數(shù)，雖然現(xiàn)不能證明N是兩個素數(shù)之和，但是可以證明它能夠?qū)懗蓛蓚€殆素數(shù)的和，即N=A+B，其中A和B的素因子個數(shù)都不太多，譬如說素因子個數(shù)不超過10。用“a+b”來表示如下命題：每個大偶數(shù)N都可表為A+B，其中A和B的素因子個數(shù)分別不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成"1+1"。在這一方向上的進展都是用所謂的篩法得到的。

“a + b”問題的推進

1920年，挪威的布朗證明了“9 + 9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”。

1937年，意大利的蕾西先后證明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。

1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“5 + 5”。

1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“4 + 4”。

1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+ c”，其中c是一很大的自然數(shù)。

1956年，中國的王元證明了“3 + 4”。稍后證明了“3 + 3”和“2 + 3”。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩證明了“1 + 5”，中國的王元證明了“1 + 4”。

1965年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了“1 + 3 ”。

1966年，中國的陳景潤證明了“1 + 2 ”。

途徑二：例外集合

在數(shù)軸上取定大整數(shù)x，再從x往前看，尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數(shù)，即例外偶數(shù)。x之前所有例外偶數(shù)的個數(shù)記為E(x)。我們希望，無論x多大，x之前只有一個例外偶數(shù)，那就是2，即只有2使得猜想是錯的。這樣一來，哥德巴赫猜想就等價于E(x)永遠等于1。當然，直到2013年還不能證明E(x)=1；但是能夠證明E(x)遠比x小。在x前面的偶數(shù)個數(shù)大概是x/2；如果當x趨于無窮大時，E(x)與x的比值趨于零，那就說明這些例外偶數(shù)密度是零，即哥德巴赫猜想對于幾乎所有的偶數(shù)成立。這就是例外集合的思路。

維諾格拉多夫的三素數(shù)定理發(fā)表于1937年。第二年，在例外集合這一途徑上，就同時出現(xiàn)了四個證明，其中包括華羅庚先生的著名定理。

業(yè)余搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人聲稱“證明”了哥德巴赫猜想在概率意義下是對的。實際上他們就是“證明”了例外偶數(shù)是零密度。這個結(jié)論華老早在60年前就真正證明出來了。

途徑三：小變量的三素數(shù)定理

如果偶數(shù)的哥德巴赫猜想正確，那么奇數(shù)的猜想也正確。我們可以把這個問題反過來思考。已知奇數(shù)N可以表成三個素數(shù)之和，假如又能證明這三個素數(shù)中有一個非常小，譬如說第一個素數(shù)可以總?cè)?，那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想。這個思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25歲時，研究有一個小素變數(shù)的三素數(shù)定理。這個小素變數(shù)不超過N的θ次方。我們的目標是要證明θ可以取0，即這個小素變數(shù)有界，從而推出偶數(shù)的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先證明θ可取1/4。后來的很長一段時間內(nèi)，這方面的工作一直沒有進展，直到1995年展?jié)淌诎雅死蠋煹亩ɡ硗七M到7/120。這個數(shù)已經(jīng)比較小了，但是仍然大于0。

途徑四：幾乎哥德巴赫問題

1953年，林尼克發(fā)表了一篇長達70頁的論文。在文中，他率先研究了幾乎哥德巴赫問題，證明了，存在一個固定的非負整數(shù)k，使得任何大偶數(shù)都能寫成兩個素數(shù)與k個2的方冪之和。這個定理，看起來好像丑化了哥德巴赫猜想，實際上它是非常深刻的。我們注意，能寫成k個2的方冪之和的整數(shù)構(gòu)成一個非常稀疏的集合；事實上，對任意取定的x，x前面這種整數(shù)的個數(shù)不會超過log x的k次方。因此，林尼克定理指出，雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想，但是我們能在整數(shù)集合中找到一個非常稀疏的子集，每次從這個稀疏子集里面拿一個元素貼到這兩個素數(shù)的表達式中去，這個表達式就成立。這里的k用來衡量幾乎哥德巴赫問題向哥德巴赫猜想逼近的程度，數(shù)值較小的k表示更好地逼近度。顯然，如果k等于0，幾乎哥德巴赫問題中2的方冪就不再出現(xiàn)，從而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的論文并沒有具體定出k的可容許數(shù)值，此后四十多年間，人們還是不知道一個多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證，這個k應該很大。1999年，作者與廖明哲及王天澤兩位教授合作，首次定出k的可容許值54000。這第一個可容許值后來被不斷改進。其中有兩個結(jié)果必須提到，即李紅澤、王天澤獨立地得到k=2000。最好的結(jié)果k=13是英國數(shù)學家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德國數(shù)學家普赫塔(Puchta)合作取得的，這是一個很大的突破。