“華氏定理”是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的研究成果。華氏定理為：體的半自同構(gòu)必是自同構(gòu)自同體或反同體。數(shù)學(xué)家華羅庚關(guān)于完整三角和的研究成果被國(guó)際數(shù)學(xué)界稱為“華氏定理”；另外他與數(shù)學(xué)家王元提出多重積分近似計(jì)算的方法被國(guó)際上譽(yù)為“華—王方法”。

中文名

華氏定理

表達(dá)式

體的半自同構(gòu)必是自同構(gòu)自同體或反同體

提出者

華羅庚

提出時(shí)間

1940年

應(yīng)用學(xué)科

數(shù)學(xué)

介紹

華氏定理（1940）命 q是一個(gè)正整數(shù)，

為一個(gè)k次整系數(shù)多項(xiàng)式且最大公約

,則對(duì)于任何

皆有

華氏定理

華氏定理溯源于高斯（C.F. Gauss）他首先引進(jìn)

的特例情況，

即所謂高斯和:

,

并得到估計(jì)

.

高斯引進(jìn)并研究高斯和的目的在于給出初等數(shù)論中非常重要的二次互反律一個(gè)證明。以后，不少數(shù)學(xué)家企圖推廣高斯和及他的估計(jì)，但他們只能對(duì)特殊的多項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的

，取得成功，這一歷史名題直到1940年，才由華羅庚解決。

華氏定理是臻于至善的，即誤差主階

已不能換成一個(gè)更小的數(shù)。這只是取

及

，p為素?cái)?shù)，就可以知道。所以依維諾格拉朵夫稱贊華氏定理是驚人的。

華氏定理的直接應(yīng)用是，可以處理比希爾伯特一華林定理更為廣泛的問(wèn)題：

命 N為一個(gè)正整數(shù)，

是首項(xiàng)系數(shù)為正的 k次整值多項(xiàng)式，

考慮不定方程

(1)

的求解問(wèn)題，特別取

即得

.

(2)

1770年，華林提出猜想：當(dāng)

, (2)有非零非負(fù)整數(shù)解。華林猜想是希爾伯特于1900年證明的。于是華林猜想就成了著名的希爾伯特一華林定理，但用希爾伯特方法所能得到的

將是很大的，20年代以后，哈代、李特伍德與依·維諾格拉朵夫用圓法及指數(shù)和估計(jì)法對(duì)

作了精致的定量估計(jì)。用華氏定理基本上可以將依·維諾格拉朵夫關(guān)于華林問(wèn)題的重要結(jié)果推廣至不定方程（1）, 即假定（1）滿足必須滿足的條件，則當(dāng)

及 N充分大時(shí), （1）有非零非負(fù)整解。當(dāng)

時(shí)，方程（1）的解數(shù)有一個(gè)漸近公式。

華氏不等式

華氏不等式(1938)命 N 為一個(gè)正整數(shù)， f(x)為一個(gè) k次整系數(shù)多項(xiàng)式，則

，

華氏定理

則對(duì)于任何

及

時(shí)皆有

華氏不等式的直接應(yīng)用為不定方程（1），由圓法來(lái)處理方程（1），則首先需將方程（1）的解數(shù)表示成

(0,1),

上的一個(gè)積分，然后將

(0,1)

分成互不相交的優(yōu)孤與劣孤之并, 優(yōu)孤上的積分給出（1）的解數(shù)的主項(xiàng)，需證明劣孤上的積分是一個(gè)低階項(xiàng)，從而可以忽略不計(jì)，這樣就得到了解數(shù)漸近公式。華羅庚證明了

假定。為滿足必須滿足的條件的 k次整值多項(xiàng)式，則當(dāng)

時(shí)，方程（1）的解數(shù)有一個(gè)漸近公式。特別對(duì)于華林問(wèn)題，即方程（2），當(dāng)

時(shí)，對(duì)充分大的 N，有非尋常非負(fù)解，且解數(shù)有漸近公式。當(dāng)

時(shí)，這一結(jié)果是華林問(wèn)題的最佳結(jié)果。直到半個(gè)世紀(jì)之后，基于對(duì)華氏不等式的某些改良，沃恩（R.F.Vaughan）與希斯布朗（D.R. Heath-Brown ）才能對(duì)華羅庚關(guān)于華林問(wèn)題的結(jié)果作點(diǎn)改進(jìn)，但他們所用的方法卻繁得多了。

基于華羅庚關(guān)于解析數(shù)論的基本方法，即關(guān)于指數(shù)和估計(jì)的華氏定理與華氏不等式，再加上依· 維諾格拉朵夫的韋爾（H. Weyl）和估計(jì)與關(guān)于素?cái)?shù)變數(shù)的指數(shù)和估計(jì)，華羅庚系統(tǒng)地研究了不定方程及其他堆壘問(wèn)題的求解問(wèn)題，并限制變數(shù)

均取素?cái)?shù)值。華羅庚的結(jié)果總結(jié)在他的專著《堆壘素?cái)?shù)論》中，這本書被譯成俄文、英文、德文、匈牙利文與日文，它是圓法、指數(shù)和估計(jì)及其應(yīng)用方面最重要的經(jīng)典著作之一。

人物介紹

華羅庚，中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家。1910年11月12日生于江蘇省金壇縣。華羅庚1924年金壇中學(xué)初中畢業(yè)之后，在上海中華職業(yè)學(xué)校學(xué)習(xí)不到一年，因家貧輟學(xué)，但他刻苦自修數(shù)學(xué)，1930年在《科學(xué)》上發(fā)表了關(guān)于代數(shù)方程式解法的文章，被邀到清華大學(xué)工作，開始了數(shù)論的研究。

1934年成為中華教育文化基金會(huì)研究員。1936年作為訪問(wèn)學(xué)者去英國(guó)劍橋大學(xué)工作。1938年回國(guó)，受聘為西南聯(lián)合大學(xué)教授。1946年赴美國(guó)，任普林斯頓數(shù)學(xué)研究所研究員、普林斯頓大學(xué)，1948年始，他為伊利諾伊大學(xué)教授。1950年回國(guó)。

歷任清華大學(xué)教授，中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所、應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)、名譽(yù)所長(zhǎng)，中國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)、名譽(yù)理事長(zhǎng)，全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽委員會(huì)主任，美國(guó)國(guó)家科學(xué)院國(guó)外院士，第三世界科學(xué)院院士，聯(lián)邦德國(guó)巴伐利亞科學(xué)院院士，中國(guó)科學(xué)院物理學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)部副主任、副院長(zhǎng)、主席團(tuán)成員，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系主任、副校長(zhǎng)，中國(guó)科協(xié)副主席，國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)委員等職。

曾任一至六屆全國(guó)人大常務(wù)委員，六屆全國(guó)政協(xié)副主席。曾被授予法國(guó)南錫大學(xué)、香港中文大學(xué)和美國(guó)伊利諾斯大學(xué)榮譽(yù)博士學(xué)位。

主要從事解析數(shù)論、矩陣幾何學(xué)、典型群、自守函數(shù)論、多復(fù)變函數(shù)論、偏微分方程、高維數(shù)值積分等領(lǐng)域的研究與教授工作并取得突出成就。

40年代，解決了高斯完整三角和的估計(jì)這一歷史難題，得到了最佳誤差階估計(jì)（此結(jié)果在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用）；對(duì)G.H.哈代與J.E.李特爾伍德關(guān)于華林問(wèn)題及E.賴特關(guān)于塔里問(wèn)題的結(jié)果作了重大的改進(jìn)，至今仍是最佳紀(jì)錄。

在代數(shù)方面，證明了歷史長(zhǎng)久遺留的一維射影幾何的基本定理；給出了體的正規(guī)子體一定包含在它的中心之中這個(gè)結(jié)果的一個(gè)簡(jiǎn)單而直接的證明，被稱為嘉當(dāng)-布饒爾-華定理。

其專著《堆壘素?cái)?shù)論》系統(tǒng)地總結(jié)、發(fā)展與改進(jìn)了哈代與李特爾伍德圓法、維諾格拉多夫三角和估計(jì)方法及他本人的方法，發(fā)表40余年來(lái)其主要結(jié)果仍居世界領(lǐng)先地位，先后被譯為俄、匈、日、德、英文出版，成為20世紀(jì)經(jīng)典數(shù)論著作之一。

其專著《多個(gè)復(fù)變典型域上的調(diào)和分析》以精密的分析和矩陣技巧，結(jié)合群表示論，具體給出了典型域的完整正交系，從而給出了柯西與泊松核的表達(dá)式，獲中國(guó)自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)。

倡導(dǎo)應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)的研制，曾出版《統(tǒng)籌方法平話》、《優(yōu)選學(xué)》等多部著作并親自在中國(guó)推廣應(yīng)用。與王元教授合作在近代數(shù)論方法應(yīng)用研究方面獲重要成果，被稱為“華-王方法”。在發(fā)展數(shù)學(xué)教育和科學(xué)普及方面做出了重要貢獻(xiàn)。發(fā)表研究論文200多篇，并有專著和科普性著。

1985年6月12日，華羅庚應(yīng)邀到日本東京大學(xué)作學(xué)術(shù)報(bào)告。他先中文，后改用英語(yǔ)演講。日本學(xué)者被他精彩的演說(shuō)深深吸引，原定45分鐘的報(bào)告在經(jīng)久不息的掌聲中被延長(zhǎng)到一個(gè)多小時(shí)。當(dāng)他滿頭大汗結(jié)束講話時(shí)，突然心臟病發(fā)作倒在講臺(tái)上。他用行動(dòng)實(shí)踐了自己的諾言：“最大的希望就是工作到生命的最后一刻?！?/p>

華氏不等式

1936年華羅庚到劍橋大學(xué)進(jìn)修了兩年，他師從哈代，積極參加劍橋大學(xué)數(shù)論小組的學(xué)術(shù)討論班活動(dòng)，迅速進(jìn)入到該領(lǐng)域前沿。華羅庚潛心研究數(shù)論的重要問(wèn)題，解決了華林（Waring）問(wèn)題，他利（Tarry）問(wèn)題等數(shù)學(xué)難題，其杰出才華在劍橋沃土上顯露出來(lái)，在國(guó)際數(shù)學(xué)界引人注目。

華羅庚抓緊這兩年的時(shí)間，學(xué)習(xí)非?？炭嗯?，寫了十八篇關(guān)于“華林問(wèn)題”、“他利問(wèn)題”，“奇數(shù)的哥德巴赫問(wèn)題”的論文，先后發(fā)表在英、蘇、印度、法、德等國(guó)的雜志上。他的工作成績(jī)得到了大家的認(rèn)可與贊許。其中他的最有名的一篇論文“論高斯的完整三角和估計(jì)問(wèn)題”，代表了他的工作在這個(gè)領(lǐng)域的有著長(zhǎng)期與重要的影響。

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫（1891-1983），從1934年至1983年一直擔(dān)任蘇聯(lián)科學(xué)院斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所的所長(zhǎng)。他對(duì)韋爾和的估計(jì)方法及以素?cái)?shù)為變數(shù)的指數(shù)和估計(jì)方法自30年代以來(lái)，對(duì)數(shù)論發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。他在堆壘數(shù)論方面得到不少深刻的結(jié)果，尤其是他對(duì)奇數(shù)的哥德巴赫猜想的基本解決及關(guān)于華林問(wèn)題的結(jié)論是最為有名。

維諾格拉朵夫的主要成就是發(fā)表在30年代，這也是華羅庚進(jìn)入數(shù)論研究的高峰時(shí)期。他認(rèn)真學(xué)習(xí)了維諾格拉朵夫的方法，雖然華羅庚是自學(xué)維諾格拉朵夫方法的。但他對(duì)這個(gè)方法的了解和貢獻(xiàn)卻不在旁人之下。維諾格拉朵夫在他的書《數(shù)論中的三角和方法》的序言中，提到這個(gè)方法是我與柯坡爾特、朱達(dá)柯夫、華羅庚及其他人一起合作得出的。

華羅庚最重要的數(shù)論工作當(dāng)然還是他自己獨(dú)創(chuàng)性的工作。