倍立方問(wèn)題,是指作一個(gè)立方體,使它的體積是已知立方體的體積的兩倍;化圓為方問(wèn)題:作一個(gè)正方形,使它的面積等于已知圓的面積。在2400年前的古希臘已提出這些問(wèn)題,直至1837年,法國(guó)數(shù)學(xué)家萬(wàn)芝爾才首先證明“三等分角”和“倍立方”為尺規(guī)作圖不能問(wèn)題。1882年德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明π是超越數(shù)后,“化圓為方”也被證明為尺規(guī)作圖不能問(wèn)題。

中文名

倍立方問(wèn)題

外文名

Cubic problem

類別

古希臘三大幾何問(wèn)題

起源地

西臘第羅斯島(Delos)

起源時(shí)間

公元前429年

所在領(lǐng)域

尺規(guī)組圖

問(wèn)題

倍立方問(wèn)題

傳說(shuō)中,這問(wèn)題的來(lái)源,可追溯到公元前429年,一場(chǎng)瘟疫襲擊了希臘提洛島(Delos),造成四分之一的人口死亡。島民們推派一些代表去神廟請(qǐng)示阿波羅的旨意,神指示說(shuō):

要想遏止瘟疫,得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍。人們便把每邊增長(zhǎng)一倍,結(jié)果體積當(dāng)然就變成了8倍,瘟疫依舊蔓延;接著人們又試著把體積改成原來(lái)的2倍,但形狀卻變?yōu)橐粋€(gè)長(zhǎng)方體……第羅斯島人在萬(wàn)般無(wú)奈的情況下,只好鼓足勇氣到雅典去求救于當(dāng)時(shí)著名的學(xué)者柏拉圖。

開(kāi)始,柏拉圖和他的學(xué)生認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題很容易。他們根據(jù)平時(shí)的經(jīng)驗(yàn),覺(jué)得利用尺規(guī)作圖可以輕而易舉地作一個(gè)正方形,使它的面積等于已知正方形的2倍,那么作一個(gè)正方體,使它的體積等于已知正方體體積的2倍,還會(huì)難嗎?結(jié)果,……但是,柏氏門徒當(dāng)時(shí)倒有兩件差點(diǎn)成功的作法:

注解

注:『求體積是稜長(zhǎng)?a?的立方體的2倍的立方體』,這問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為『求在?a?與?2a?之間插入二數(shù)x,y,使?a,x,y,2a?成等比數(shù)列』?即?

?,?

從而?

,?故?

?,則稜長(zhǎng)?x?的立方體即為所求。?1.?已知:線段?a?求作:對(duì)角線互相垂直的直角梯形ABCD,使得?,作法一

(?則?)?作法:?1.?作互相垂直的線M,線N,交點(diǎn)為O;2.?在M上取?

,在N上取

;?3.?取二曲尺,使一曲尺通過(guò)C點(diǎn),且頂點(diǎn)在N上,另一曲尺通過(guò)D點(diǎn),且頂點(diǎn)在M上,且二尺的另一邊互相密合,如此,便分別在M,N上產(chǎn)生A,B點(diǎn),則四邊形ABCD中的OA(或OB)即為所求。討論:應(yīng)用原理為?

.?已知:線段?a求作:線段x,y,使得

?。作法二

作法:?1.?作互相平形且距離為2a的直線M,

.?在M,N之間,夾著三個(gè)全等的直角三角板,使他們的一個(gè)直角邊與M密合,相對(duì)頂點(diǎn)在N上*3.?固定最左邊的一個(gè)三角尺,且在最右邊的一個(gè)三角尺股?上取*4.?滑動(dòng)右邊及中間的三角尺,使每個(gè)三角尺的斜邊與相鄰三角尺股交點(diǎn)(R及S)與E,Q共線,則?即為所求。作法三

3.?[以下是西元前350年希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯Menaechmus)的作法]?已知:線段?a?求作:線段x,y,使得

?作法:?*1.?作拋物線?[其中頂點(diǎn)(0,0),對(duì)稱軸y軸,過(guò)

]?*2.?作拋物線?[其中頂點(diǎn)(0,0),對(duì)稱軸x軸,過(guò)(?,a)]?¸?二拋物線交於P點(diǎn)?3.?過(guò)P作,則?即為所求?4.?[西元前150年戴可利斯(Diocles)發(fā)明一種蔓葉線(cissoid)?,此為三次曲線,它可解倍立方問(wèn)題?作法:1.?是圓O內(nèi)互相垂直的直徑?2.?E點(diǎn)在弧BC上,Q點(diǎn)在弧BD上,并滿足?*3.?作?於H,交?於P,(P點(diǎn)的軌跡就是蔓葉線)?4.?則?討論:應(yīng)用原理為?