胡爾維茨定理是關(guān)于解析函數(shù)序列的各項(xiàng)與它們的極限函數(shù)在一條簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)部零點(diǎn)個(gè)數(shù)之間關(guān)系的定理。

簡(jiǎn)介

設(shè)D是一個(gè)區(qū)域，D內(nèi)的解析函數(shù)序列式f(z)在D內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)f(z)，f(z)不恒為0，并設(shè)Γ是D內(nèi)的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線，其內(nèi)部也在D內(nèi)，且Γ不經(jīng)過(guò)函數(shù)f(z)的零點(diǎn)，則存在一個(gè)依賴于曲線Γ的正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，函數(shù)式f(z)在Γ內(nèi)部的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于函數(shù)f(z)在Γ內(nèi)部的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

推論

由胡爾維茨定理可以推出：若解析函數(shù)序列式f(z)都在D內(nèi)單葉，則f(z)在D內(nèi)也單葉。

解析函數(shù)

解析函數(shù)是區(qū)域上處處可微分的復(fù)函數(shù)。17世紀(jì)，L.歐拉和J.leR.達(dá)朗貝爾在研究水力學(xué)時(shí)已發(fā)現(xiàn)平面不可壓縮流體的無(wú)旋場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)Φ(x，y)與流函數(shù)Ψ(x，y)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且滿足微分方程組，并指出f(z)=Φ(x，y)+iΨ(x，y)是可微函數(shù)，這一命題的逆命題也成立。

柯西把區(qū)域上處處可微的復(fù)函數(shù)稱為單演函數(shù)，后人又把它們稱為全純函數(shù)、解析函數(shù)。B.黎曼從這一定義出發(fā)對(duì)復(fù)函數(shù)的微分作了深入的研究，后來(lái)，就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼條件。