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平面向量
物理學(xué)中定理定律
平面向量是在二維平面內(nèi)既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理學(xué)中也稱作矢量，與之相對的是只有大小、沒有方向的數(shù)量（標(biāo)量）。平面向量用a,b,c上面加一個小箭頭表示，也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。
基本信息
| 中文名 | 平面向量 |
| 外文名 | Plane vector |
| 別名 | 矢量 |
| 提出者 | 英國數(shù)學(xué)家哈密頓 |
| 特點 | 既有方向又有大小 |
| 應(yīng)用學(xué)科 |
收起
發(fā)展歷程
哈密頓
相關(guān)概念
表示方法
幾何表示
具有方向的線段叫做有向線段，我們以A為起點、B為終點的有向線段作為向量，可以記作
。但是，區(qū)別于有向線段，在一般的數(shù)學(xué)研究中，向量是可以平移的。
坐標(biāo)表示
向量的坐標(biāo)表示
在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。任作一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得：
，我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)。
其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量的坐標(biāo)表示。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)唯一表示。
根據(jù)定義，任取平面上兩點
即一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)。
運算性質(zhì)
加法
向量加法的三角形法則
用坐標(biāo)表示時，顯然有：
。這就是說，兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差
四邊形法則：已知兩個從同一點A出發(fā)的兩個向量AC、AB，以AC、AB為鄰邊作平行四邊形ACDB，則以A為起點的對角線AD就是向量AC、AB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則，簡記為：共起點 對角連。
對于零向量和任意向量a，有：
。
減法
數(shù)乘
實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作
。當(dāng)
時，的方向和a的方向相同，當(dāng)
時，的方向和a的方向相反，當(dāng)
時，
。
用坐標(biāo)表示的情況下有：
設(shè)λ、μ是實數(shù)，那么滿足如下運算性質(zhì)：
1.
2.
3.
4.
5.
數(shù)量積
已知兩個非零向量a、b，那么
（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作
。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。數(shù)量積a·b的幾何意義是：a的長度
與b在a的方向上的投影
的乘積。
兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即：若
，則
數(shù)量積具有以下性質(zhì)：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
向量積
向量積示意圖
若a、b不共線，是一個向量，其模是
，的方向為垂直于a和b，且a、b和按次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則
。
向量積具有如下性質(zhì)：
1.
2.
3.
4.
5.
基本定理
平面向量
有關(guān)推論
?三角形ABC內(nèi)一點O，
，則點O是三角形的垂心。
?若O是三角形ABC的外心，點M滿足
，則M是三角形ABC的垂心。
?若O和三角形ABC共面，且滿足
，則O是三角形ABC的重心。
?平面三角形ABC內(nèi)有一點O，則S
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